|
Введение.
Древняя история богата выдающимися математиками. Многие достижения древней математической науки до сих пор вызывают восхищение остротой ума их авторов, а имена Евклида, Архимеда, Герона известны каждому образованному человеку.
Иначе обстоит дело с математикой средневековья. Кроме Виета, жившего в шестнадцатом веке, и математиков более близких к нам времен школьный курс математики не называет ни одного имени, относящегося к средним векам. Это не случайно. Математика в эту эпоху развивалась чрезвычайно медленно, и крупных математиков тогда было очень мало.
Тем больший интерес представляет для нас сочинение "Liber abacci" ("Книга об абаке"), написанная знаменитым итальянским математиком Леонардо из Пизы, который известен больше под своим прозвищем Фибоначчи. Эта книга, написанная в 1202 году, дошла до нас во втором своем варианте, который относится к 1228 году.
Целью данной дипломной работы является
Из этого вытекает ряд задач:
" изложить простейшие и теоретико-числовые свойства чисел Фибоначчи,
" рассмотреть связь между числами Фибоначчи и непрерывными дробями,
" рассмотреть применение чисел Фибоначчи в геометрии,
" рассмотреть применение чисел Фибоначчи в теории поиска,
" проанализировать используемую литературу
Предметом моего исследовантя является
Объектом моего исследования является
Для того чтобы разобраться в понятие числа Фибоначчи необходимо, для начала, обратиться к следующей задаче.
"Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?"
"Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения. Так как первая пара в первом месяце дает потомство, удвой, и в этом месяце окажутся 2 пары; из них одна пара, а именно первая, рождает и в следующем месяце, так что во втором месяце оказывается 3 пары; из них в следующем месяце 2 пары будут давать потомство, так что в третьем месяце родятся еще 2 пары кроликов, и число пар кроликов в этом месяце достигнет 5; из них в этом же месяце будут давать потомство 3 пары, и число пар кроликов в четвертом месяце достигнет 8; из них 5 пар произведут другие 5 пар, которые, сложенные с 8 парами, дадут в пятом месяце 13 пар; из них 5 пар, рожденных в этом месяце, не дают в том же месяце потомства, а остальные 8 пар рождают, так что в шестом месяце оказывается 21 пара; сложенные с 13 парами, которые родятся .в седьмом месяце, они дают 34 пары; сложенные с 21 парой, рожденной в восьмом месяце, они дают в этом месяце 55 пар; сложенные с 34 парами, рожденными в девятом месяце, они дают 89 пар; сложённые вновь с 55 парами, которые рождаются в десятом месяце, они дают в этом месяце 144 пары; снова сложенные с 89 парами, которые рождаются в одиннадцатом месяце, они дают в этом месяце 233 пары; сложенные вновь с 144 парами, рожденными в последнем месяце, они дают 377 пар; столько пар произвела первая пара в данном месте к концу одного года. Складывается первое число со вторым, тоесть 1 и 2; второе с третьим; и третье с четвертым; и четвертое с пятым; и так одно за другим, пока не сложим десятое с одиннадцатым, тоесть 144 с 233. Получилось общее число упомянутых кроликов, тоесть 377; и так можно делать по порядку до бесконечного числа месяцев.
Можно перейти теперь от кроликов к числам и рассмотреть следующую числовую последовательность:
U1, U2, … , Un, (1)
в которой каждый член равен сумме двух предыдущих членов, тоесть при всяком n > 2
Un = Un-1 + Un-2 . (2)
Необходимо обратиться теперь к важному частному случаю последовательности (1), когда U1= 1 и U2 = 1. Условие (2), как было только что отмечено, дает нам возможность вычислять последовательно один за другим все члены этого ряда. Нетрудно проверить, что в этом случае первыми четырнадцатью его членами будут числа
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,
которые уже встречались нам в задаче о кроликах. В честь автора этой задачи вся последовательность (1) при U1 = U2 = l называется рядом Фибоначчи, а члены ее последовательности числами Фибоначчи.
Природа дает нам многочисленные примеры в расположении однородных предметов, описываемых числами Фибоначчи.
В разнообразных спиралевидных расположениях мелких частей растений обычно можно усмотреть два семейства спиралей. В одном из этих семейств спирали завиваются по часовой стрелке, а в другом - против. Числа спиралей того и другого
типов часто оказываются соседними числами Фибоначчи.
Так, взяв молодую сосновую веточку, легко заметить, что хвоинки образуют две спирали, идущие справа внизу налево вверх. Вместе с тем они же составляют три спирали, идущие слева снизу направо вверх.
На многих шишках семена (т. е. "чешуйки") расположены в трех спиралях, полого навивающихся на стержень шишки. Они же расположены в пяти спиралях, круто навивающихся в противоположном направлении. В крупных шишках удается наблюдать 5 и 8 и даже 8 и 13 спиралей. Хорошо заметны такие спирали и на ананасе: обычно их бывает 8 и 13.
У многих сложноцветных (например, у маргаритки или ромашки) спиральное расположение отдельных цветков в соцветиях-корзинках. Число спиралей бывает здесь 13 в одном направлении и 21 в другом или даже соответственно 21 и 34. Особенно много спиралей можно наблюдать в расположении семечек крупного подсолнуха. Их число в каждом из направлений может достигать соответственно 55 и 89.
Числа Фибоначчи обладают целым рядом интересных и важных свойств.
|
На уровень вверх
Купить